代数学是现代数学最重要的分支之一，有着悠久的发展历史。本课程是数学相关专业的学位课，开课的目的是使学生掌握代数学中群、环及域等内容的基本概念、基本理论以及基本应用，掌握代数结构的基本构造方法。深入理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，夯实学生数学基础，提高学生抽象思维和逻辑推理能力，了解代数学知识在其它学科领域的广泛应用。

《代数学》教学大纲（2021版）

(Algebra)

课程编号：SS151003

开课学期：秋

学    时：64

学    分：4

开课单位：数学科学学院                                  

大纲撰写人：温凤桐

一、教学目地与要求：

通过该课程的学习，使学生掌握抽象代数的基本内容、方法和理论，对代数学的思想和方法有较深刻的认识，培养学生高度的抽象思维能力、缜密的逻辑推理和运算能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学修养，为进一步的科研训练以及将来的社会生产打下坚实的基础。

二、教学内容、学时分配

（一）群  (30学时)

1.群的定义及其性质

2.基本概念：子群；.陪集；；.群的同构；.群的直积；群的同态；正规子群；商群；可解群；群在集合上的作用；循环群；二面体群；矩阵群；对称群；单群。

3.基本原理：.lagrange定理；轨道-稳定子定理；Sylow定理；群同态定理

4.有限Abel群的结构

5.循环群的应用

（二）环 (22学时)

1.环的定义及其性质

2.基本概念：子环；理想；商环；素理想；极大理想；主理想环；整除性；相伴；不可约元与素元；环的直积与直和；唯一分解整环；主理想环；欧几里得整环；分式域

3.基本原理：环的同态定理；中国剩余定理；整环的相关理论

4.代数数域及Galois环的构造

5.中国剩余定理在信息安全领域的应用

（三）域  (12学时)

1.基本概念：域的定义；域的特征；分裂域；.域扩张；正规扩张；；可分扩张；本原元素；迹与范数

2.基本原理：.Galois基本定理；域扩张相关理论

3.有限域的构造

4.有限域在通信领域（编码，密码）中的应用

三、教学方式

教师主讲为主，辅以课堂讨论+案例

四、考核方式

   期末 闭卷考试；平时过程化考核

五、先修课程：

 高等代数、近世代数

六、教材及教学参考资料(教材、推荐书目、推荐期刊文章、学习网站等)：

（一）教材

抽象代数基础，丘维声， 北京：高等教育出版社. 2016.（非自编教材）

（二）推荐书目

[1] Thomas W. Hungerford. Algebra. New York: Springer-Verlag, 1974.

[2] [美]冯克勤. Thomas W. Hungerford. 代数学. 长沙：湖南教育出版社，1984.

[3] Nathan Jacobson. Basic Algebra (I, II). W. H. Freeman and Company, 1985.

[4] 聂灵沼，丁石孙. 代数学引论. 北京：高等教育出版社，1987.

[5] 张勤海. 抽象代数. 北京：科学出版社，2004.

[6] 韩士安，林磊. 近世代数. 北京：科学出版社，2003.

[7] 左孝凌，刘永才，李为鑑. 离散数学.上海：上海科技文献出版社，1982.

[8]赵春来，徐明曜. 抽象代数I. 北京：北京大学出版社，2011.

[9]姚慕生. 抽象代数学(第二版). 上海：复旦大学出版社,2014.

[10]郭文彬(译). 带上续约引论(第三卷). 北京：高等教育出版社, 2013.

[11]张英伯(译). 带上续约引论(第一卷). 北京：高等教育出版社, 2013.

[12]陈景润. 初等数论(III). 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2013.

[13]李福安(译). 代数基本概念. 北京：高等教育出版社，2014.